Question

12．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-2cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a=1，c=$\sqrt{3}$，f（C）=-1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的数量积、两角差的正弦函数运算化简f（x），再由正弦函数的单调性求出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由（I）化简f（C）=-1，根据内角的范围求出角C，再由正弦定理求出角A，由内角和定理求出角B，结合条件代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1=$2\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x+1
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）得，
$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$，
∴函数f（x）的单调递增区间是[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]（k∈Z）；
（Ⅱ）由（I）得f（C）=2sin（2C-$\frac{π}{6}$）=-1，则sin（2C-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴$-\frac{π}{6}＜$2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
则2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，解得C=$\frac{2π}{3}$，
∵a=1，c=$\sqrt{3}$，∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，则sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{1}{2}$，
由C是钝角得，A=$\frac{π}{6}$，则B=$\frac{π}{6}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查正弦定理，向量的数量积，两角差的正弦函数、正弦函数的性质等，考查化简、计算能力，属于中档题．