分析 (Ⅰ)根据向量的数量积、两角差的正弦函数运算化简f(x),再由正弦函数的单调性求出f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)由(I)化简f(C)=-1,根据内角的范围求出角C,再由正弦定理求出角A,由内角和定理求出角B,结合条件代入三角形的面积公式求出△ABC的面积.
解答 解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1=$2\sqrt{3}$sinxcosx-2cos2x+1
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin(2x-$\frac{π}{6}$),
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$(k∈Z)得,
$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$,
∴函数f(x)的单调递增区间是[$-\frac{π}{6}+kπ,\frac{π}{3}+kπ$](k∈Z);
(Ⅱ)由(I)得f(C)=2sin(2C-$\frac{π}{6}$)=-1,则sin(2C-$\frac{π}{6}$)=$-\frac{1}{2}$,
∵0<C<π,∴$-\frac{π}{6}<$2C-$\frac{π}{6}$<$\frac{11π}{6}$,
则2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$,解得C=$\frac{2π}{3}$,
∵a=1,c=$\sqrt{3}$,∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$,则sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{1}{2}$,
由C是钝角得,A=$\frac{π}{6}$,则B=$\frac{π}{6}$,
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$.
点评 本题考查正弦定理,向量的数量积,两角差的正弦函数、正弦函数的性质等,考查化简、计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{3}{4}$ | B. | -$\frac{3}{4}$ | C. | $\frac{4}{3}$ | D. | -$\frac{4}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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