Question

 

如图，已知椭圆的右焦点为F，过F的直线（非x轴）交椭圆于M、N两点，右准线交x轴于点K，左顶点为A．

    （Ⅰ）求证：KF平分∠MKN；

        （Ⅱ）直线AM、AN分别交准线于点P、Q，

设直线MN的倾斜角为，试用表示

线段PQ的长度|PQ|，并求|PQ|的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）法一：作MM₁⊥于M₁，

NN₁⊥于N₁，则，

又由椭圆的第二定义有

∴∴∠KMM₁=∠KNN₁，

即∠MKF=∠NKF，

∴KF平分∠MKN

法二：设直线MN的方程为.

设M、N的坐标分别为,

由

∴

设KM和KN的斜率分别为，显然只需证即可.

∵  ∴

而

即 得证.

（Ⅱ）由A，M，P三点共线可求出P点的坐标为

由A，N，Q三点共线可求出Q点坐标为，

设直线MN的方程为.由

∴

 

则：

又直线MN的倾斜角为，则，∴

∴时，