Question

3．已知函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式及两角和的正弦函数公式可求解析式f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），利用周期公式即可的积极性．
（2）由x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$，可求2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，根据正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1=1+cos2x+sin2x-1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），…（2分）
∴$T=\frac{2π}{2}=π$…（5分）
（2）因为x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$，所以2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，…（6分）
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，即x=$\frac{π}{8}$时，f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，…（8分）
当2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$时，即x=-$\frac{π}{4}$时，f（x）的最小值为-1．…（10分）

点评 本题主要考查了倍角公式及两角和的正弦函数公式，周期公式，正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．