Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c，其中a∈N^*，b∈N，c∈Z．
（1）若b＞2a，且f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为-4，求f（x）的最小值；
（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x²+1），且存在x₀使得f（x₀）＜2（x₀²+1）成立，求c的值．

Answer 1

分析：（1）先由题找到x∈[-1，1]，f（x）_max=2，f（x）_min=-4再利用a∈N^*，b∈N和b＞2a，判断出函数在x∈[-1，1]上递增，再利用f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为-4，求出a，b，c．在利用配方法求出f（x）的最小值；
（2）先由4≤f（1）≤4找到a+b+c=4①，再f（x）≥4x恒成立?△=（b-4）²-4ac≤0②，和f（x）≤2（x²+1）的结合求出a=1，c=1．（注意对二次项系数的讨论）．

解答：解：（1）据题意x∈[-1，1]时，f（x）_max=2，f（x）_min=-4，（1分）
f(x)=a(x+

b

2a

)2+c-

b2

4a

，
∵b＞2a＞0，∴-

b

2a

＜-1，
∴f（x）在[-1，1]上递增，
∴f（x）_min=f（-1），f（x）_max=f（1），（3分）
∴

a+b+c=2 a-b+c=-4

，∴b=3，a+c=-1，（5分）
∵b＞2a，∴a＜

3

2

，又a∈N^*，∴a=1，∴c=-2，（7分）
∴f(x)=x2+3x-2=(x+

3

2

)2-

17

4

，
∴f(x)min=-

17

4

．（8分）
（2）由已知得，4≤f（1）≤4，∴f（1）=4，即a+b+c=4①，（9分）
∵f（x）≥4x恒成立，∴ax²+（b-4）x+c≥0恒成立，
∴△=（b-4）²-4ac≤0②，（11分）
由①得b-4=-（a+c），代入②得（a-c）²≤0，∴a=c，（13分）
由f（x）≤2（x²+1）得：（2-a）x²-bx+2-c≥0恒成立，
若a=2，则b=0，c=2，∴f（x）=2（x²+1），
不存在x₀使f（x₀）＜2（x₀²+1），与题意矛盾，（15分）
∴2-a＞0，∴a＜2，又a∈N^*，
∴a=1，c=1．（16分）

点评：本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，以及恒成立问题，是道综合题关于给定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般根据是开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小．