考点:曲线与方程
专题:圆锥曲线中的最值与范围问题
分析:函数y=f(x)的图象与方程
-=1的曲线重合.当x,y≥0时,方程化为
-=1,其图象为双曲线在第一象限的部分(包括点(5,0));当x>0,y<0时,方程化为
+=1,其图象为椭圆线在第四象限的部分(包括点(0,-3));当x<0,y>0时,方程化为-
-=1,此时无图形;当x<0,y<时,方程化为
-+=1,其图象为双曲线在第三象限的部分.画出图象即可得出.
解答:
解:函数y=f(x)的图象与方程
-=1的曲线重合.
当x,y≥0时,方程化为
-=1,其图象为双曲线在第一象限的部分(包括点(5,0));
当x>0,y<0时,方程化为
+=1,其图象为椭圆线在第四象限的部分(包括点(0,-3));
当x<0,y>0时,方程化为-
-=1,此时无图形;
当x<0,y<时,方程化为
-+=1,其图象为双曲线在第三象限的部分.
画出图象:可得:
①f(x)是增函数.
②函数f(x)的图象不是中心对称图形.
③函数f(x)的图象不是轴对称图形.
④函数f(x)有且只有一个零点(5,0).
综上可得:其中正确的是 ①④.
故答案为:①④.
点评:本题考查了椭圆与双曲线的图象及其性质、分类讨论的思想方法,考查了数形结合的思想方法,考查了推理能力,属于中档题.