【题目】如图所示的多面体中, 菱形, 是矩形, ⊥平面 , , .
(Ⅰ)异面直线 与 所成的角余弦值;
(Ⅱ)求证平面 ⊥平面 ;
(Ⅲ)在线段 取一点 ,当二面角 的大小为60°时,求 .
【答案】解:(Ⅰ)因为 ,所以 就是异面直线 与 所成的角,连接 ,
在 中, ,于是 ,所以异面直线 与 所成的角余弦值为 .
(Ⅱ)取 的中点 .由于 面 , ,
∴ ,又 是菱形,
是矩形,所以, 是全等三角形,
,所以 , 就是二面角 的平面角经计算 ,所以 ,即 .
所以平面 平面 .
(Ⅲ)建立如图的直角坐标系,由 ,则
.
平面 的法向量 .
设 ,则
设平面 的法向量 ,则 得
,令 ,则 ,得 .
因为二面角 的大小为60°,
所以 ,
整理得 ,解得
所以 .
【解析】(1)由已知A B / / D C可知 ∠ B A E 就是异面直线 A E 与 D C 所成的角,因此能求出异面直线 A E 与 D C 所成的角,根据题中的已知条件利用余弦定理求出即可。(2)由已知作出辅助线,可推导出∠ A M C 就是二面角 A E F C 的平面角,借助已知的边的关系由勾股定理可得证A M ⊥ M C ,再根据面面垂直的判定定理即可得证。(3)根据题意建立空间直角坐标系,求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标,设出平面CEF和平面NEF的法向量,由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量,再利用向量的数量积运算公式结合二面角 N E F C 的大小为60°得到关于λ的方程求出其值结合两点间的距离公式即可求出结果。
【考点精析】关于本题考查的点到直线的距离公式和平面与平面垂直的判定,需要了解点到直线的距离为:;一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直才能得出正确答案.
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【题目】已知曲线 的参数方程 ( 为参数),曲线 的极坐标方程为 .
(1)将曲线 的参数方程化为普通方程,将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)试问曲线 , 是否相交?若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.
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【题目】已知随机变量 的取值为不大于 的非负整数值,它的分布列为:
0 | 1 | 2 | n | ||
其中 ( )满足: ,且 .
定义由 生成的函数 ,令 .
(I)若由 生成的函数 ,求 的值;
(II)求证:随机变量 的数学期望 , 的方差 ;
( )
(Ⅲ)现投掷一枚骰子两次,随机变量 表示两次掷出的点数之和,此时由 生成的函数记为 ,求 的值.
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【题目】设 是两个平面, 是两条直线,有下列四个命题:
⑴如果 ,那么 .
⑵如果 ,那么 .
⑶如果 ,那么 .
其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ2(1+3sin2θ)=4,曲线C2: (θ为参数).
(Ⅰ)求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程;
(Ⅱ)极坐标系中两点A(ρ1 , θ0),B(ρ2 , θ0+ )都在曲线C1上,求 + 的值.
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【题目】定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)= ,则关于x的函数F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( )
A.3a﹣1
B.1﹣3a
C.3﹣a﹣1
D.1﹣3﹣a
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准 (吨),一位居民的月用水量不超过 的部分按平价收费,超出 的部分按议价收费,为了了解居民用水情况,通过抽祥,获得了某年100位居民毎人的月均用水量(单位:吨),将数据按照 分成 组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
(2)若该市有110万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 吨的人数,并说明理由;
(3)若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准 (吨),估计x的值(精确到0.01),并说明理由.
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