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    已知C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    椭圆具有性质：若M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    具有类似特性的性质并加以证明．
    分析：设出M和N的坐标，代入双曲线的方程，设点P的坐标，进而表示出PM，PN的斜率，求得两斜率之积．把点P的坐标代入双曲线方程表示出y和n，代入PM，PN斜率之积得表达式求得结果为常数，故可推断出kPM•kPN与点P的位置无关的定值．
    解答：解：可以通过横向类比得：若M，N是上述双曲线上关于原点O对称的两点，
    点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，
    那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
    下面给出严格的证明：
    设点M（m，n），则N（-m，-n），其中
    m2
    a2
    -
    n2
    b2
    =1    ，又设点P的坐标
    为P（x，y），则kPM=
    y-n
    x-m
    ，kPN=
    y+n
    x+m
    ，kPM•kPN=
    y2-n2
    x2-m2
    ，
    注意到
    m2
    a2
    -
    n2
    b2
    =1    ，点P（x，y）在双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    上，
    故y2=b2(
    x2
    a2
    -1)，n2=b2(
    m2
    a2
    -1)    ，
    代入kPM•kPN=
    y2-n2
    x2-m2
    可得：kPM•kPN=
    b2
    a2
    (x2-m2)
    x2-m2
    =
    b2
    a2
    （常数），
    即kPM•kPN与点P的位置无关的定值
    点评：本题主要考查了椭圆的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知半椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(x≥0)    与半椭圆
    y2
    b2
    +
    x2
    c2
    =1(x≤0)    组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，
    （1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
    （2）若|A1A|＞|B1B|，求
    b
    a
    的取值范围；
    （3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知直线l：y=x+1与曲线C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    交于不同的两点A，B，O为坐标原点．
    （Ⅰ）若|OA|=|OB|，求证：曲线C是一个圆；
    （Ⅱ）若OA⊥OB，当a＞b且a∈[
    		6
    2
    ，
    		10
    2
    ]    时，求曲线C的离心率e的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知直线L：y=x+1与曲线C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞1，b＞0)    交于不同的两点A、B，O为坐标原点．
    （1）若|OA|=|OB|，试探究在曲线C上仅存在几个点到直线L的距离恰为a-
    		2
    2
    ？并说明理由；
    （2）若OA⊥OB，且a＞b，a∈[
    		6
    2
    ，
    		10
    2
    ]    ，试求曲线C的离心率e的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•临沂三模）已知直线l：y=x+
    		6
    ，圆O：x2+y2=5，椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率e=
    		3
    3
    ，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．
    （1）若
    AF
    =2
    FB
    求直线l的方程；
    （2）若动点P满足
    OP
    =
    OA
    +
    OB
    ，问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•武汉模拟）已知直线l：y=2x-
    		3
    与椭圆C：
    x2
    a2
    +y2=1 （a＞1）交于P、Q两点，以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A．
    （1）设PQ中点M（x0，y0），求证：x0＜
    		3
    2
    （2）求椭圆C的方程．

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