Question

以下四个命题：
①PA、PB是平面α的两条长度相等的斜线段，则它们在平面α内的射影的长度必相等；
②平面α内的两直线l₁、l₂，若l₁、l₂均与平面β平行，则α∥β；
③若平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
④α、β为两相交平面，且α不垂直于β，α内有一定直线l，则在平面β内有无数条直线与l垂直．
其中正确的命题的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据空间平行与垂直的有关定理，对各个选项逐个加以判断：利用线面垂直的定义，通过计算可得①正确；根据面面平行的判定定理，可得②错；根据平行于平面的直线到平面距离相等，可以举出反例说明③错；根据异面直线所成角的含义，可以结合已知条件作出辅助线，从而证出④正确．

解答：解：对于①，设点P到平面α的距离等于d，可得
斜线段PA在平面α内的射影长为：

PA2-d2

，
同理可得PB在平面α内的射影长：

PB2-d2

，
若PA=PB，则PA、PB平面α内的射影的长度必相等，故①正确；
对于②，若平面α内的相交直线l₁、l₂，且l₁、l₂均与平面β平行，则α∥β
但没有相交这个条件，换成l₁∥l₂结论就不一定成立，故②错；
对于③，若平面α与平面β垂直相交，在平面α内作出交线的平行线m，
则直线m上有无数个点到平面β的距离相等，说明平面α内有无数个点到平面β的距离相等，
但结论“α∥β”不成立，故③错；
对于④，α、β为两相交平面，设它们的交线是m，在平面β内可作出m的垂线n，
并且这样的垂线有无数条，那只要直线l在α内与m保持平行，则必有l⊥n，
即便是α不垂直于β，在α内有也存在直线l，与平面β内无数条直线垂直，故④正确．
综上，得正确的选项是①④
故选B

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了立体几何中空间的平行与垂直位置关系的判断，属于基础题．考查了推理证明的能力和空间想象能力．