Question

16．斜率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的直线与焦点在x轴上的双曲线x²-$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）交于不同的两点P、Q．若点P、Q在x轴上的投影恰好为双曲线的两焦点，则该双曲线的焦距为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 设斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+t，代入双曲线方程，消去y，由题意可得，方程的两根分别为-c，c．则有t=0，代入c，得到方程，再由a，b，c的关系，可得c的方程，计算即可得到所求．

解答 解：设斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+t，
代入双曲线方程，消去y，可得，（b²-$\frac{1}{2}$）x²-$\sqrt{2}$tx-t²-b²=0，
由于点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，
则有上式的两根分别为-c，c．
则t=0，即有（b²-$\frac{1}{2}$）c²=b²，由于b²=c²-1，
则有2c⁴-5c²+2=0，
解得c²=2（$\frac{1}{2}$舍去），
则c=$\sqrt{2}$．焦距为2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．