Question

．（本小题满分14分）
已知数列，，其中是方程的两个根.
（1）证明：对任意正整数，都有；
（2）若数列中的项都是正整数，试证明：任意相邻两项的最大公约数均为1；
（3）若，证明：。

Answer 1

证明：（1）是方程的两个根，
故对任意正整数，

故；
（2）由（1）与更相减损术可得：对任意正整数，

故命题成立；
（3）是方程的两个根且，故
由可得：


故

略