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已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)时,该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1),设数列|xn|由f(xn)=n(n=1,2,…)定义.
(1)求x1、x2和xn的表达式;
(2)计算
limn→∞
xn

(3)求f(x)的表达式,并写出其定义域;
分析:1)依题意f(0)=0,又由f(x1)=1,当0≤y≤1时,x1=1.又由f(x2)=2,当1≤y≤2时,x2=1+
1
b
.
由此入手结合题意可求出xn=
b-(
1
b
)
n-1
b-1
.

(2)当b>1时,
lim
n→∞
xn=  
lim
n→∞
b-(
1
b
)
n-1
b-1
=
b
b-1
;当0<b<1时,n→∞,xn也趋向于无穷大.
(3)分类讨论可知当b>1时,y=f(x)的定义域为[0,
b
b-1
)
;当0<b<1时,y=f(x)的定义域为[0,+∞).
解答:(1)解:依题意f(0)=0,又由f(x1)=1,当0≤y≤1时,
函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段,
故由
f(x1)-f(0)
x1-0
=1

得x1=1.
又由f(x2)=2,当1≤y≤2时,函数y=f(x)的图象是斜率为b的线段,
故由
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=b

x2-x1=
1
b
x2=1+
1
b
.

记x0=0.由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为bn-1
故得
f(xn)-f(xn-1)
xn-xn-1
=bn-1.

又f(xn)=n,f(xn-1)=n-1,∴xn-xn-1=(
1
b
)n-1,n=1,2.

由此知数列{xn-xn-1}为等比数列,其首项为1,公比为
1
b
.

因b≠1,得xn=
n
k=1
(xk-xk-1)=1+
1
b
++
1
bn-1
=
b-(
1
b
)
n-1
b-1

xn=
b-(
1
b
)
n-1
b-1
.

(2)解:由(1)知xn=
b-(
1
b
)
n-1
b-1
.

当b>1时,
lim
n→∞
xn=  
lim
n→∞
b-(
1
b
)
n-1
b-1
=
b
b-1

当0<b<1时,n→∞,xn也趋向于无穷大.
(3)解:由(1)知:
当0≤x≤1时,y=x.即当0≤x≤1时,f(x)=x;
当n≤y≤n+1时,即xn≤x≤xn-1时,
由(1)可知,f(x)=n+bn(x-xn)(n=1,2,).
由(2)知:当b>1时,
y=f(x)的定义域为[0,
b
b-1
)

当0<b<1时,y=f(x)的定义域为[0,+∞).
点评:本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识,考查归纳、推理和综合的能力.
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