Question

（1）抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，又知抛物线经过点P（4，2），求抛物线的方程；
（2）已知抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点的距离为

17

4

，求p与m的值．

Answer 1

分析：（1）对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y²=2px和x²=-2py，然后将P点坐标代入即可求出抛物线标准方程，
（2）根据抛物线的定义利用点A（m，4）到其焦点的距离求得p，抛物线方程可得，进而把点P代入求得m．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，
∴抛物线的方程为标准方程．
又∵点P（4，2）在第一象限，
∴抛物线的方程设为y²=2px，x²=2py（p＞0）．
当抛物线为y²=2px时，则有2²=2p×4，故2p=1，y²=x；
当抛物线为x²=2py时，则有4²=2p×2，故2p=8，x²=8y．
综上，所求的抛物线的方程为y²=x或x²=8y．
（2）由抛物线方程得其准线方程y=-

p

2

，根据抛物线定义，点A（m，4）到焦点的距离等于它到准线的距离，即4+

p

2

=

17

4

，解得p=

1

2

；∴抛物线方程为：x²=y，将A（m，4）代入抛物线方程，解得m=±2．

点评：本题考查了抛物线的标准方程，解题过程中要注意对称轴是x轴和y轴两种情况作答，属于基础题．