Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-x
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记f（x）在区间[0，π]（n∈N^*）上的最小值为b_x令a_n=ln（1+n）-b_x．如果对一切n，不等式

an

＜

an+2

-

c

an+2

恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由导函数大于0求函数的增区间，导函数小于0求函数的减区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在区间[0，n]（n∈N^*）上为减函数，则b_n=f（n），代入a_n=ln（1+n）-b_n后可得a_n，把不等式式

an

＜

an+2

-

c

an+2

分离出c后利用放缩法可求c的最大值．

解答：解：（I）因为f（x）=ln（1+x）-x，所以函数定义域为（-1，+∞），且f′（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

．
由f′（x）＞0，即

-x

1+x

＞0，得：-1＜x＜0，所以f（x）的单调递增区间为（-1，0）；
由f′（x）＜0，即

-x

1+x

＜0，得：x＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
（II）因为f（x）在[0，n]上是减函数，所以b_n=f（n）=ln（1+n）-n，
则a_n=ln（1+n）-b_n=ln（1+n）-ln（1+n）+n=n．
如果对一切n，不等式

an

＜

an+2

-

c

an+2

恒成立，
等价于c＜

an+2

(

an+2

-

an

)对一切n∈N^*恒成立，
由

an+2

(

an+2

-

an

)=

n+2

(

n+2

-

n

)=

n+2

2

n+2 + n

＞

2 n+2

n+2 + n+2

=1．
因此c≤1，即实数c的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分离变量法，训练了利用放缩法求解不等式的最值，题目设置较为综合，属于难题．