Question

【题目】已知抛物线y2=ax上一点M（4，b）到焦点的距离为6．
（1）求抛物线的方程；
（2）若此抛物线与直线y=kx﹣2交于不同的两点A、B，且AB中点的横坐标为2，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：抛物线的准线方程为x=﹣ ．

∵抛物线y2=ax上一点M（4，b）到焦点的距离为6，

∴4﹣（﹣ ）=6，

∴a=8，

∴抛物线的方程为y2=8x；

（2）解：∵直线y=kx﹣2与抛物线y2=8x交于两点，

∴k≠0．

由直线y=kx﹣2与抛物线y2=8x，消去y，得k2x2﹣4kx﹣8x+4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2= =4，解得k=﹣1或k=2．

而当k=﹣1时，方程k2x2﹣4kx﹣8x+4=0只有一个解，即A、B两点重合，

∴k≠﹣1．

∴k=2．

【解析】（1）利用抛物线的定义建立方程，求出a，即可求抛物线的方程；（2）直线y=kx﹣2代入抛物线y2=8x，利用AB的中点的横坐标为2，结合韦达定理，求出k的值