Question

17．已知a，b是方程x²-6x+4=0的两个正根，求$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的值．

Answer 1

分析 由条件利用韦达定理可得a+b=6，ab=4，求得a和b的值，再根据$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$=$\frac{{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^{2}}{a-b}$=$\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}$，求得它的值．

解答 解：由a，b是方程x²-6x+4=0的两个正跟，可得a+b=6，ab=4，
求得a=3+$\sqrt{5}$，b=3-$\sqrt{5}$，或a=3-$\sqrt{5}$，b=3+$\sqrt{5}$．
故当a=3+$\sqrt{5}$，b=3-$\sqrt{5}$ 时，$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$=$\frac{{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^{2}}{a-b}$=$\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}$=$\frac{6-2×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
当a=3-$\sqrt{5}$，b=3+$\sqrt{5}$时，$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$=$\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}$=$\frac{6-2×2}{-2\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，

点评 本题主要考查韦达定理的应用，二次函数的性质，属于基础题．