Question

数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，对于函数f(x)=

1

3

(an+1-an)x3-（a_n-a_n-1）x（其中n≥2，n∈N⁺），有f′(

1

2

)=0，则数列{a_n}的通项公式为

2ⁿ

．

Answer 1

分析：先求导函数，利用f′(

1

2

)=0，可得数列{a_n-a_n-1}为等比数列，利用叠加法可求数列{a_n}的通项公式

解答：解：由题意，f′（x）=（a_n+1-a_n）x²-（a_n-a_n-1），
∵f′(

1

2

)=0
∴

1

2

(an+1-an) -(an-an-1)=0
∵a₂-a₁=2
∴a_n-a_n-1=2ⁿ
∴an-a1=2+22++2n-1=

2(1-2n-1)

1-2

∴a_n=2ⁿ
故答案为2ⁿ

点评：本题以函数为载体，考查的是这是，考查等比数列的定义，同时考查了叠加法求数列和．