Question

已知函数f（x）=x（x-a）²+b在x=2处有极大值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围；
（Ⅲ）当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x²的下方，求b的取值范围

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=x（x-a）²+b=x³-2ax+a²x+b，
f'（x）=3x²-4ax+a²，
f'（2）=12-8a+a²=0，解得a=2，a=6，
当a=2时，函数在x=2处取得极小值，舍去；
当a=6时，f'（x）=3x²-24x+36=3（x-2）（x-6），函数在x=2处取得极大值，符合题意，
∴a=6．

（Ⅱ）f（x）=x³-12x²+36x+b，
设切点为（x₀，x₀³-12x₀²+36x₀+b），则切线斜率为f'（x）=3x₀²-24x₀+36，切线方程为
y-x₀³+12x₀²-36x₀-b=（3x₀²-24x₀+36）（x-x₀），
即y=（3x₀²-24x₀+36）x-2x₀³+12x₀²+b，
∴-2x₀³+12x₀²+b=0
∴b=2x₀³-12x₀²．
令g（x）=2x³-12x²，则g'（x）=6x²-24x=6x（x-4），
由g'（x）=0得，x₁=0，x₂=4．
函数g（x）的单调性如下：
∴当-64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切．

（Ⅲ）∵当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x²的下方，
∴x³-12x²+36x+b＜1+45x-9x²在x∈[-2，4]时恒成立，
即b＜-x³+3x²+9x+1在x∈[-2，4]时恒成立．
令h（x）=-x³+3x²+9x+1，则h'（x）=-3x²+6x+9=-3（x-3）（x+1），
由h'（x）=0得，x₁=-1，x₂=3．
∵h（-2）=3，h（-1）=-4，h（3）=28，h（4）=21，
∴h（x）在[-2，4]上的最小值是-4，b＜-4．