Question

在圆上任取一点，设点在轴上的正投影为点．当点在圆上运动时，动点满足，动点形成的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知点，若、是曲线上的两个动点，且满足，求的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

解析试题分析：（1）解法一是从条件得到点为线段的中点，设点，从而得到点的坐标为，利用点在圆上，其坐标满足圆的方程，代入化简得到曲线的方程；解法二是利用相关点法，设点，点，通过条件确定点与点的坐标之间的关系，并利用点的坐标表示点的坐标，再借助点在圆上，其坐标满足圆的方程，代入化简得到曲线的方程；（2）先利用条件将化简为，并设点，从而得到的坐标表达式，结合点，将的代数式化为以的二次函数，结合的取值范围，求出的取值范围.
试题解析：（1）解法1：由知点为线段的中点.
设点的坐标是，则点的坐标是.
因为点在圆上，所以.
所以曲线的方程为；
解法2：设点的坐标是，点的坐标是，
由得，，．
因为点在圆上， 所以．     ①
把，代入方程①，得．
所以曲线的方程为；
（2）解：因为，所以．
所以．
设点，则，即．
所以，
因为点在曲线上，所以．
所以．
所以的取值范围为.
考点：1.相关点法求轨迹方程；2.平面向量的数量积；3.二次函数的最值