【题目】已知点
，椭圆
：
的离心率为
，
是椭圆的焦点，直线
的斜率为
，
为坐标原点.
(Ⅰ)求
的方程；
（Ⅱ）设过点
的直线
与相交于
两点，当
的面积最大时，求
的方程.
【答案】(Ⅰ) 
（Ⅱ）
或
.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)利用离心率及顶点A的坐标可求得椭圆中
值，从而确定椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，转化为关于x的二次方程，结合根与系数的关系可得到
的面积的表达式，通过基本不等式可求得面积的最值及此时的直线方程
试题解析：(Ⅰ) 设
，由条件知
，得
又
，
所以a=2，
,故
的方程. ………4分
（Ⅱ）依题意当
轴不合题意，故设直线l：
，设
将代入，得
，
当
，即
时，
从而
…………………………7分
又点O到直线PQ的距离
，…………………………8分
所以
OPQ的面积
，…………………………9分
设
，则
，
，
当且仅当
，
等号成立，且满足
，所以当OPQ的面积最大时，
的方程为： 或. …………………………12分
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【题目】已知关于
的不等式
.
（1）是否存在
使对所有的实数
，不等式恒成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由；
（2）设不等式对于满足
的一切的值都成立，求的取值范围.
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【题目】心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，并趋于稳定．分析结果和实验表明，设提出和讲述概念的时间为
（单位：分），学生的接受能力为
（值越大，表示接受能力越强），
（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
（2）试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小；（3）若一个数学难题，需要56的接受能力以及12分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？
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【题目】为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校
的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）
高校 | 相关人数 | 抽取人数 |
A | 18 |
|
B | 36 | 2 |
C | 54 |
|
（Ⅰ）求
，
；
（Ⅱ）若从高校
抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校
的概率.
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【题目】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中, CC1⊥平面ABC, AC⊥BC, AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E. 求证：
（1）DE∥平面AA1C1C；
（2）AC⊥平面BCC1B1.
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【题目】某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以
，
，
，
，
，
，
分组的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求直方图中
的值；
（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；
（Ⅲ）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
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【题目】（本小题满分14分）
在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB， E为PA的中点．
（1）求证：BE∥平面PCD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．
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【题目】已知函数
，
．
（1）若
，求函数
的图象在
处的切线方程；
（2）若
，试讨论方程
的实数解的个数；
（3）当
时，若对于任意的
，都存在
，使得
，求满足条件的正整数
的取值的集合．
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【题目】椭圆
短轴的左右两个端点分别为A，B，直线
与x轴、y轴分别交于两点E，F，交椭圆于两点C，D．
（1）若
，求直线
的方程；
（2）设直线AD，CB的斜率分别为
，若
，求k的值．
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