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如图,椭圆G的中心在坐标原点,其中一个焦点为圆F:x2+y2-2x=0的圆心,右顶点是圆F与x轴的一个交点.已知椭圆G与直线l:x-my-1=0相交于A、B两点.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求△AOB面积的最大值.

解:(I)设椭圆方程为(a>b>0),圆F的标准方程为(x-1)2+y2=1,
圆心为F(1,0),圆与x轴的交点为(0,0)和(2,0),
由题意a=2,半焦距c=1,
∴b2=a2-c2=4-1=3,
∴椭圆方程为
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),
,消元可得(3m2+3)y2+6my-9=0
∴y1+y2=-,y1y2=-
∴|y1-y2|=
∴S△AOB=|OF||y1-y2|=
,则t≥1,m2=t2-1
∴S△AOB=
∴S′△AOB=
∵t≥1,∴S′△AOB<0
∴S△AOB在t∈[1,+∞)上是减函数
∴当t=1时,S△AOB取得最大值,最大值为
分析:(I)设出椭圆方程,圆F的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心为F(1,0),圆与x轴的交点为(0,0)和(2,0),从而可求a=2,半焦距c=1,由此能求出椭圆方程.
(Ⅱ)直线与椭圆方程联立.利用韦达定理,求出S△AOB,利用换元法及导数,即可求得S△AOB的最大值.
点评:本题考查椭圆方程和三角形面积的求法,考查直线与椭圆的位置关系,考查导数知识的运用,正确表示三角形的面积是关键.
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(Ⅱ)求△AOB面积的最大值.

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(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求△AOB面积为
3
3
5
时,求直线l的方程.

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