Question

一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
①函数f（x）的值域为(-

1

2

，

1

2

)；
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③若规定f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))， 则 fn(x)=

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立．
你认为上述三个命题中正确的是

 

．

Answer 1

分析：命题①先求出在x＞0时的函数值域，根据奇函数的性质，进一步求的函数在给定定义域内的值域；命题②判断函数在定义域内是单调函数；命题③若fn(x)=

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立，则fn-1(x)

x

1+(n-1)|x|

，验证是否有f_n（x）=f（f_n-1（x））成立．

解答：解：∵f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+|x|

=-f（x），∴f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，当x＞0时，
f（x）=

x

1+|x|

=

x

1+x

=

1

1+ 1 x

，∵x＞0，∴

1

x

＞0，∴1+

1

x

＞1，∴

1

1+ 1 x

＜1，又x＞0，∴0＜f（x）＜1，
又函数f（x）是奇函数，所以x＜0，-1＜f（x）＜0，所以∈x（-1，1），故命题①不正确．
设x₁＞x₂＞0，则 f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+|x1|

-

x2

1+|x2|

=

x1

1+x1

-

x2

1+x2

=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

，
∵x₁＞x₂＞0∴

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

＞0，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，因为f（x）为奇函数，所以f（x）在
（-∞，+∞）上位增函数，若x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂），故命题②正确．
由f₂（x）=f（f₁（x））=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x 1+\x|

1+ |x| 1+|x|

=

x

1+2|x|

．
f(fn-1(x))=

x 1+(n-1)|x|

1+| x 1+(n-1)|x| |

=

x 1+(n-1)|x|

1+ |x| 1+(n-1)|x|

=

x

1+n|x|

．
fn(x)=

x

1+n|x|

．
所以f_n（x）=f（f_n-1（x）），所以fn(x)=

x

1+n|x|

对任n∈N^*恒成立．
故答案为②③．

点评：前两个命题考查函数的基本性质，属于基本问题，第三个命题的判断具有开放性，特别是用f_n-1（x）代换f_n（x）中的x易出错，属于中难度问题．