Question

19．已知x=$\frac{1}{8-4\sqrt{3}}$，则$\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}+\sqrt{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\sqrt{x}}-\sqrt{1-\sqrt{x}}}$的值为$\sqrt{6}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 $\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}+\sqrt{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\sqrt{x}}-\sqrt{1-\sqrt{x}}}$可化为：$\sqrt{\frac{1}{x}}$-$\sqrt{\frac{1}{x}-1}$，将x=$\frac{1}{8-4\sqrt{3}}$代入再将被开方数化为完全平方式，脱去根号，可得答案．

解答 解：$\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}+\sqrt{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\sqrt{x}}-\sqrt{1-\sqrt{x}}}$=$\frac{（\sqrt{1+\sqrt{x}}+\sqrt{1-\sqrt{x}}）^{2}}{（\sqrt{1+\sqrt{x}}-\sqrt{1-\sqrt{x}}）（\sqrt{1+\sqrt{x}}+\sqrt{1-\sqrt{x}}）}$=$\frac{（1+\sqrt{x}）+（1-\sqrt{x}）+2\sqrt{1-x}}{（1+\sqrt{x}）-（1-\sqrt{x}）}$=$\frac{1+\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}$=$\sqrt{\frac{1}{x}}$+$\sqrt{\frac{1}{x}-1}$，
当x=$\frac{1}{8-4\sqrt{3}}$时，原式=$\sqrt{8-4\sqrt{3}}$+$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$=$\sqrt{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}}$+$\sqrt{{（2-\sqrt{3}）}^{2}}$=$\sqrt{6}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{6}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}$

点评 本题考查的知识点是指数式的化简与求值，本题解答时技巧性较强，否则运算起来非常麻烦．