Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线C于点A、B，|AF|=3|BF|，则|AB|=（ ）
A.p
B.
C.2p
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：设抛物线y2=2px（p＞0）的准线为l′：x=﹣ ． 如图所示，
①当直线AB的倾斜角为锐角时，
分别过点A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足为M，N．
过点B作BC⊥AM交于点C．
则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．
∵|AF|=3|BF|= |AB|，
∴|AM|﹣|BN|=|AC|=|AF|﹣|BF|= |AB|，
在Rt△ABC中，由|AC|= |AB|，可得∠BAC=60°．
∵AM∥x轴，∴∠BAC=∠AFx=60°．
∴kAB=tan60°= ，
直线方程为y= （x﹣ ），代入抛物线方程，可得3x2﹣5px+ p2=0，
∴|AB|= = p，
②当直线AB的倾斜角为钝角时，可得kAB=﹣ ．|AB|= p
综上可知：|AB|= p，
故选：D．