Question

已知向量a=(x,1),b=(1,-sinx),函数f(x)=a·b.

(1)若x∈［0,π］,试求函数f(x)的值域；

(2)若θ为常数，且θ∈(0,π),设g(x)=,x∈［0,π］,请讨论g(x)的单调性，并判断g(x)的符号.

Answer 1

解：(1)f(x)=a·b=x-sinx,∴f′(x)=1-cosx,x∈［0,π］.

∴f′(x)≥0.∴f(x)在［0，π］上单调递增.                                     

于是f(0)≤f(x)≤f(π),即0≤f(x)≤π,

∴f(x)的值域为［0，π］.                                                  

(2)g(x)=,

∴g′(x)=cosx+cos.                                            

∵x∈［0,π］,θ∈(0,π),∴∈(0,π).而y=cosx在［0,π］内单调递减,

∴由g′(x)=0,得x=,即x=θ.

因此，当0≤x＜θ时，g′(x)＜0,g(x)单调递减;

当θ＜x≤π时，g′(x)＞0,g(x)单调递增.                                       

由g(x)的单调性，知g(θ)是g(x)在［0,π］上的最小值,

∴当x=θ时，g(x)=g(θ)=0；当x≠θ时，g(x)＞g(θ)=0.                          

综上,知当x∈［0,θ)时，g(x)单调递减;

当x∈(θ,π］时，g(x)单调递增.

当x=θ时，g(x)=0,

当x≠θ时，g(x)＞0.