Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a2-c2=b2-

2 6 bc

3

（Ⅰ）求tan2A；
（Ⅱ）若sin(

π

2

+B)=

2 2

3

，c=2

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，进而利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，确定出tanA的值，将所求式子利用二次角的正切函数公式化简后，将tanA的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由诱导公式化简sin（

π

2

+B）=

2 2

3

，求出cosB的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由诱导公式及三角形内角和定理得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入求出sinC的值，再由sinA与c的值，利用正弦定理求出a的值，由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵a²-c²=b²-

2 6 bc

3

，即b²+c²-a²=

2 6 bc

3

，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

6

3

，
∴sinA=

1-cos2A

=

3

3

，tanA=

2

2

，
则tan2A=

2tanA

1-tan2A

=

2× 2 2

1-( 2 2 )2

=2

2

；
（Ⅱ）由sin（

π

2

+B）=

2 2

3

，得cosB=

2 2

3

，
∴sinB=

1-cos2B

=

1

3

，
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

3

×

2 2

3

+

6

3

×

1

3

=

6

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：a=

csinA

sinC

=2，又c=2

2

，
则△ABC的面积为S=

1

2

acsinB=

2 2

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正切函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．