Question

（2011•洛阳一模）设函数f（x）=sin（2x+

π

3

）+2cos²（

π

4

-x）．
（1）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（

C

2

）=

3

+1，c=

6

，cosB=

3

5

，求b．

Answer 1

分析：（1）根据两角和的正弦公式和辅助角公式，化简得f（x）=

3

sin（2x+

π

6

）+1．再由三角函数的周期公式和对称轴方程的公式，即可求出f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）由（1）的解析式解方程f（

C

2

）=

3

+1，得C=

π

3

．用同角三角函数的基本关系算出sinB=

4

5

，再利用正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

的式子，代入数据即可求出边b的值．

解答：解：（1）f（x）=sin（2x+

π

3

）+2cos²（

π

4

-x）
=sin（2x+

π

3

）+[1+cos（

π

2

-2x）]=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+1+sin2x
=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x+1=

3

sin（2x+

π

6

）+1
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
令2x+

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z），得x=

π

6

+

1

2

kπ（k∈Z）
∴f（x）的对称轴方程为x=

π

6

+

1

2

kπ（k∈Z）；
（2）由（1）得f（

C

2

）=

3

sin（C+

π

6

）+1=

3

+1
∴sin（C+

π

6

）=1，结合C∈（0，π）得C=

π

3

∵cosB=

3

5

，可得sinB=

1-cos2B

=

4

5

∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得
b=

csinB

sinC

=

6 • 4 5

3 2

=

8 2

5

．

点评：本题给出三角函数关系式，求函数的周期与图象的对称轴方程，并依此解三角形ABC．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和正余弦定理等知识，属于中档题．