【题目】如图所示,在三棱柱中,为正方形,为菱形,,平面平面.
(1)求证:;
(2)设点、分别是,的中点,试判断直线与平面的位置关系,并说明理由;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2) 平面;(3) .
【解析】
试题分析:(1)由面面垂直的性质可得平面,由此可得,由菱形的性质得,从而可证平面,即可证明结论成立;(2)取的中点,连接、,可证明四边形为平行四边形,从而得到平面;(3)建立空间直角坐标系,求平面的一个法向量由(1)知是平面的一个法向量,用空间向量的夹角公式求之即可.
试题解析:(1)连接,在正方形中,,
因为平面平面,平面平面,平面,所以
平面,因为平面,所以.
在菱形中,,因为面,平面,,所以
平面,因为平面,所以.
(2)平面,理由如下:
取的中点,连接、,因为是的中点,所以,且,因为是
的中点,所以.
在正方形中,,所以,且.
∴四边形为平行四边形,所以.
因为,,
所以.
(3)在平面内过点作,
由(1)可知:,以点为坐标原点,分别以、所在的直线为、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则.
在菱形中,,所以,.
设平面的一个法向量为.
因为即,
所以即,
由(1)可知:是平面的一个法向量.
所以,
所以二面角的余弦值为.
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【题目】函数的一段图象如图5所示:将的图像向右平移个单位,可得到函数的图象,且图像关于原点对称,
(1)求的值;
(2)求的最小值,并写出的表达式;
(3)若关于的函数在区间上最小值为,求实数的取值范围.
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【题目】如图,已知长方形中, , , 为的中点.将沿折起,使得平面平面.
(1)求证: ;
(2)若点是线段上的一动点,问点在何位置时,二面角的余弦值为.
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【题目】如图,在五棱锥中,平面平面,且.
(1)已知点在线段上,确定的位置,使得平面;
(2)点分别在线段上,若沿直线将四边形向上翻折,与恰好重合,求三棱锥的体积.
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【题目】某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
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【题目】设椭圆的左、右焦点分别为、,上顶点为,过与垂直的直线交轴负半轴于点,且.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若过、、三点的圆恰好与直线相切,求椭圆的方程;
(3)过的直线与(2)中椭圆交于不同的两点、,则的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知圆,圆与轴交于两点,过点的圆的切线为是圆上异于的一点,垂直于轴,垂足为,是的中点,延长分别交于.
(1)若点,求以为直径的圆的方程,并判断是否在圆上;
(2)当在圆上运动时,证明:直线恒与圆相切.
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【题目】已知圆,直线经过点A (1,0).
(1)若直线与圆C相切,求直线的方程;
(2)若直线与圆C相交于P,Q两点,求三角形CPQ面积的最大值,并求此时直线的方程.
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【题目】如图,某校高一(1)班全体男生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分,据此解答如下问题:
(1)求该班全体男生的人数及分数在之间的男生人数;
(2)根据频率分布直方图,估计该班全体男生的数学平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(3)从分数在中抽取两个男生,求抽取的两男生分别来自、的概率.
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