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    【题目】已知函数，.

    （1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；

    （2）试讨论函数在区间上的最大值；

    （3）若时，函数恰有两个零点，求证：.

    【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

    【解析】

    （1）直线的斜率为，即函数在处的导数为，由此列方程求得的值.（2）对函数求导后，对分成两类，利用函数导数讨论函数的单调性，并求出最大值.（3）当时，将两个零点代入函数的表达式，化简得到，设化简上式，求得的表达式，利用导数求得这个表达式的取值范围，由此证得.

    解：（1）由，，

    由于函数在处的切线与直线平行，

    ，解得.

    （2），由，得；由，得.

    ①当时，函数在上单调递减，

    ；

    ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

    .

    （3）若时，恰有两个零点，，

    由，，

    得，

    ，

    设，，，故，

    ，

    记函数-lnt，因，

    在递增，，，

    又，，故成立.

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