Question

18．一束光线l自A（-3，3）发出，射到x轴上的点M后，被x轴反射到⊙C：x²+y²-4x-4y+7=0上．
（1）求反射线通过圆心C时，光线l的方程；
（2）求满足条件的入射点M的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用物理的光学知识可知入射光线上的任意一点关于x轴对称的点必在其反射线上，由于反射线过圆心，有光线的可逆性知，反射线上的任意点圆心关于x轴对称的点也必在入射光线上，然后由入射光线上已知两点写出所求的直线方程；
（2）由题意和（1）可知反射线必过定点A′（次点是点A关于x轴对称的点），利用几何知识知当反射线与已知圆相切时恰好为范围的临界状态．

解答 解：⊙C：（x-2）²+（y-2）²=1
（1）C关于x轴的对称点C′（2，-2），过A，C′的方程：x+y=0为光线l的方程．
（2）A关于x轴的对称点A′（-3，-3），设过A′的直线为y+3=k（x+3），当该直线与⊙C相切时，
有$\frac{|2k-2+3k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，∴k=$\frac{4}{3}$或$\frac{3}{4}$．
∴过A′，⊙C的两条切线为y+3=$\frac{4}{3}$（x+3），y+3=$\frac{3}{4}$（x+3），
令y=0，得x=-$\frac{3}{4}$或x=1
∴反射点M在x轴上的活动范围是[-$\frac{3}{4}$，1]．

点评 本题考查已知直线上的两点求解直线的方程；考查点关于线对称点的求法，考查解决问题是抓住临界状态这一特殊位置求解的思想．