Question

10．若函数f（x）=4cos（2x-$\frac{π}{4}$）+5
（1）求函数f（x）在[-π，π]上单调递增区间；
（2）求出函数的对称中心和对称轴方程；
（3）求f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]的最值及相应x的值；
（4）若f（a）=3．且a∈[0，2π]，求角a的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦函数在[-π，π]上的单调性求得函数的增区间．
（2）由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得函数的对称中心和对称轴方程．
（3）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]的最值及相应x的值．
（4）根据函数f（x）的解析式以及f（a）=3，且a∈[0，2π]，求得角a的值．

解答 解：（1）对于函数f（x）=4cos（2x-$\frac{π}{4}$）+5，令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ，
求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，故函数的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
再结合x∈[-π，π]，可得函数的增区间为[0，$\frac{π}{8}$]、[$\frac{5π}{8}$，π]．
（2）令2x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，
可得函数的图象的对称中心为（ $\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，5），k∈Z．
令 2x-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，可得函数的图象的对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
（3）x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
故当2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{3π}{4}$时，函数取得最小值为-2$\sqrt{2}$+5，此时，x=-$\frac{π}{4}$；
当2x-$\frac{π}{4}$=0时，函数取得最大值为9，此时，x=$\frac{π}{8}$．
（4）若f（a）=4cos（2a-$\frac{π}{4}$）+5=3，即 cos（2a-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{2}$，且a∈[0，2π]，
故2a-$\frac{π}{4}$=$\frac{2π}{3}$，∴a=$\frac{11π}{24}$．

点评 本题主要考查余弦函数的单调性，余弦函数的图象的对称性，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．