Question

给出下列命题
①“a=3”是“直线ax-2y-1=0与直线6x-4y+c=0平行”的充要条件；
②P：?x∈R，x²+2x+2≤0．则￢P：?x∈R，x²+2x+2＞0；
③函数y=2sin²（x+

π

4

）-cos2x的一条对称轴方程是x=

3π

8

；
④若a＞0，b＞0，且2a+b=1，则

2

a

+

1

b

的最小值为9．
其中所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：①若p为q的充要条件，则

p⇒q q⇒p

；
②特称命题的否定为全称命题；
③将函数整理后得到y=1-

2

2sin（2x-

π

4

），令2x-

π

4

=kπ+

π

2

，解出x后即可判断x=

3π

8

是否为函数的一条对称轴方程；
④将2a+b=1整体代换，

2

a

+

1

b

就变为(2a+b)(

2

a

+

1

b

)，再利用基本不等式求其最小值即可．

解答：解：①由于直线ax-2y-1=0与直线6x-4y+c=0平行，则

a=3 c≠-2

故“a=3”是“直线ax-2y-1=0与直线6x-4y+c=0平行”的既不充分也不必要条件，故①为假命题；
②由于命题P：?x∈R，x2+2x+2≤0．而特称命题的否定为全称命题，则￢P：?x∈R，x2+2x+2＞0，故②为真命题；
③由于y=2sin²（x+

π

4

）-cos2x=1-cos（2x+

π

2

）-cos2x=1+sin2x-cos2x=1-sin（2x-

π

4

），
且函数y=sint的对称轴为t=kπ+

π

2

(k∈Z)，则2x-

π

4

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

3π

8

（k∈Z），
故x=

3π

8

是函数y=2sin²（x+

π

4

）-cos2x的一条对称轴方程，即③为真命题；
④由于2a+b=1，则

2

a

+

1

b

=(2a+b)(

2

a

+

1

b

)=5+

2b

a

+

2a

b

≥5+2

2b a × 2a b

=9   （当且仅当a=b=

1

3

时，取“=”）
故

2

a

+

1

b

的最小值为9，故④为真命题．
故答案为 ②③④

点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，我们需对四个结论逐一进行判断，方可得到正确的结论．