Question

20、定义τ（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-1-a_n|为有限项数列{a_n}的波动强度．
（Ⅰ）当a_n=（-1）ⁿ时，求τ（a₁，a₂，…，a₁₀₀）；
（Ⅱ）若数列a，b，c，d满足（a-b）（b-c）（c-d）＞0，求证：τ（a，b，c，d）≤τ（a，c，b，d）；
（Ⅲ）设{a_n}各项均不相等，且交换数列{a_n}中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{a_n}一定是递增数列或递减数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用新定义，计算出各项，易得a₁=-1，a₂=1，a₃=-1，a₄=1，…，…，a₉₉=-1，a₁₀₀=1，从而有τ（a₁，a₂，…，a₁₀₀）=2×99=198；
（Ⅱ）要证τ（a，b，c，d）≤τ（a，c，b，d），即证：|a-b|+|b-c|+|c-d|≤|a-c|+|c-b|+|b-d|，即证：|a-b|+|c-d|≤|a-c|+|b-d|，由条件可得；
（Ⅲ）不失一般性，假设数列{a_n}中相邻两项为a_m-1，a_m则：|a_m-2-a_m-1|+|a_m-a_m+1|＜|a_m-2-a_m|+|a_m-1-a_m+1|，从而可证．

解答：解：（Ⅰ）由定义知，a₁=-1，a₂=1，a₃=-1，a₄=1，…，a₉₉=-1，a₁₀₀=1，从而有τ（a₁，a₂，…，a₁₀₀）=2×99=198；
（Ⅱ）要证τ（a，b，c，d）≤τ（a，c，b，d），即证：|a-b|+|b-c|+|c-d|≤|a-c|+|c-b|+|b-d|，即证：|a-b|+|c-d|≤|a-c|+|b-d|，由条件（a-b）（b-c）（c-d）＞0可得；
（Ⅲ）不失一般性，假设数列{a_n}中相邻两项为a_m-1，a_m则：|a_m-2-a_m-1|+|a_m-a_m+1|＜|a_m-2-a_m|+|a_m-1-a_m+1|，由（Ⅱ）可知：（a_m-2-a_m-1）（a_m-1-a_m）（a_m-a_m+1）＞0，从而有数列{a_n}一定是递增数列或递减数列．

点评：本题主要考查新定义，解题是应充分理解新定义；证明时采用了分析法；第三问则利用第二问的结论，属于难题．