Question

【题目】如果定义在R上的函数f（x），对任意的x∈R，都有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“β函数”．
（Ⅰ） 分别判断下列函数：①y=2x；②y=2x+1； ③y=x2﹣2x﹣3，是否为“β函数”？（直接写出结论）
（Ⅱ） 若函数f（x）=sinx+cosx+a是“β函数”，求实数a的取值范围；
（Ⅲ） 已知f（x）= 是“β函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）①、②是“β 函数”，③不是“β函数”．…（3分）

（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）≠0，．

因为f（x）=sinx+cosx+a，所以f（﹣x）=﹣sinx+cosx+a．

故f（﹣x）+f（x）=2cosx+2a

由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx

故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．

（Ⅲ）①对任意的x≠0

（a）若x∈A且﹣x∈A，则﹣x≠x，f（﹣x）=f（x），这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍），

（b）若x∈B且﹣x∈B，则f﹣（x）=﹣x=﹣f（x），这与y=f（x）是“β函数”矛盾，（舍）．

此时，由y=f（x）的定义域为R，故对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B．

②假设存在x0＜0，使得x0∈A，则由x0＜ ，故f（x0）＜f（ ）．

（a）若 ，则f（ ）= ，矛盾，

（b）若 ，则f（ ）= ，矛盾．

综上，对任意的x＜0，xA，故x∈B，即（﹣∞，0）B，则（0，+∞）A．

③假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾．故0∈A

故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0）．

经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0）．符合题意

【解析】（Ⅰ）有题设可判断。（Ⅱ）根据题意代入“β函数”的形式可得到f（﹣x）+f（x）=2cosx+2a0，即a≠﹣cosx。（Ⅲ）由题意先判断集合A和集合B内元素的存在性。再假设存在x0＜0，由反证法得到对任意的x＜0，xA，故x∈B，即（﹣∞，0）B，则（0，+∞）A．这个结论。再讨论特殊点假设0∈B时矛盾得到0∈A即A=[0，+∞），B=（﹣∞，0）．