Question

20．现有下列函数：①y=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，②y=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），③y=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{|1+x|-x}$，④y=（x-1）$\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$，⑤y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1，x＞0}\\{-{x}^{2}+1，x＜0}\end{array}\right.$其中奇函数为①②⑤，偶函数为③．

Answer 1

分析 先求出每个函数的定义域，然后从定义域关于原点对称的函数中，再利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．若满足f（-x）-f（x）=0则是偶函数，若满足f（-x）+f（x）=0，则为奇函数，若以上都不满足，则为非奇非偶函数．

解答 解：对于①，定义域为R，因为f（-x）+f（x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}+\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{（{2}^{-x}-1）（{2}^{x}+1）+（{2}^{x}-1）（{2}^{-x}+1）}{（{2}^{-x}+1）（{2}^{x}+1）}$=$\frac{{2}^{0}+{2}^{-x}-{2}^{x}-1+{2}^{0}+{2}^{x}-{2}^{-x}-1}{（{2}^{-x}+1）（{2}^{x}+1）}$=0，故该函数为奇函数；
对于②，显然定义域为R，f（-x）+f（x）=$lg（\sqrt{{（-x）}^{2}+1}-x）+lg（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）$=$lg（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）$=lg1=0，故该函数为奇函数；
对于③，要使原函数有定义，只需$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{|1+x|-x≠0}\end{array}\right.$，解得x∈[-1，1]，关于原点对称，此时|1+x|-x=1+x-x=1，所以$f（x）=\sqrt{1-{x}^{2}}$，易知f（-x）=f（x），所以该函数为偶函数；
对于④，要使函数有意义，只需$\frac{x+1}{x-1}≥0$且x-1≠0，解得x≤-1或x＞1，不关于原点对称，所以该函数非奇非偶；
对于⑤，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），当x＜0时，则-x＞0，所以此时f（x）=-x²+1，f（-x）=（-x）²-1=x²-1=-f（x）；同理可得当x＞0时，也有f（-x）=-f（x），所以该函数是奇函数．
故答案为：①②⑤，③．

点评 本题考查了判断函数奇偶性的方法，一般先求出函数的定义域，在关于原点对称的前提下，再利用函数奇偶性的定义判断该函数的奇偶性．