Question

已知函数f(x)=px-

p

x

-2lnx．
（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数g(x)=

2e

x

，若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出函数在x=1处的值，求出导函数，求出导函数在x=1处的值即切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．
（II）求出函数的导函数，令导函数大于等于0恒成立，构造函数，求出二次函数的对称轴，求出二次函数的最小值，令最小值大于等于0，求出p的范围．
（III）通过g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，通过对p的讨论，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范围．

解答：解：（I）当p=2时，函数f(x)=2x-

2

x

-2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0.f′(x)=2+

2

x2

-

2

x

，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1）
即y=2x-2．
（II）f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．
令h（x）=px²-2x+p，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
由题意p＞0，h（x）=px²-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为x=

1

p

∈(0，+∞)，
∴h(x)min=p-

1

p

，只需p-

1

p

≥0，
即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．
（III）∵g(x)=

2e

x

在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）_min=2；x=1时，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]，
当p＜0时，h（x）=px²-2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴x=

1

p

在y轴的左侧，且h（0）＜0，
所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
当p=0时，h（x）=-2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，
f′(x)=-

2x

x2

＜0，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减?f（x）_max=f（1）=0＜2，不合题意；
当0＜p＜1时，由x∈[1，e]?x-

1

x

≥0，所以f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx≤x-

1

x

-2lnx．
又由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，
∴x-

1

x

-2lnx≤e-

1

e

-2lne=e-

1

e

-2＜2，不合题意；
当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，
故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，而f(x)max=f(e)=p(e-

1

e

)-2lne，g（x）_min=2，即p(e-

1

e

)-2lne＞2，解得p＞

4e

e2-1

综上所述，实数p的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．

点评：解决曲线的切线问题，常利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切线方程；解决函数单调性已知求参数范围问题，常令导函数大于等于0（小于等于0）恒成立，求出参数的范围．