Question

（2011•洛阳二模）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为正三角形，A₁A=AC=2，∠A₁AC=60°，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，O为AC的中点．
（1）证明：A₁O⊥BC；
（2）若M，N分别是A₁C₁，BC的中点，求直线MN与平面ABC所成的角．

Answer 1

分析：（1）连接A₁C，由已知可判断△A₁AC为正三角形，根据等边三角形三线合一结合平面A₁ACC₁⊥平面ABC，可得A₁O⊥平面ABC，进而由线面垂直的定义，得到A₁O⊥BC；
（2）连接MC，可证得四边形A₁OCM为平行四边形，结合（1）的结论及线面垂直的第二判定定理可得MC⊥平面ABC，则∠MNC为直线MN与平面ABC所成的角，解三角形MNC可得答案．

解答：证明：（1）连接A₁C
∵A₁A=AC=2，∠A₁AC=60°，
∴△A₁AC为正三角形
又∵O为AC的中点
∴A₁O⊥AC
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，A₁O?平面A₁ACC₁
∴A₁O⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC
∴A₁O⊥BC
解：（2）连接MC
∵M，O分别是A₁C₁，AC的中点．
∴四边形A₁OCM为平行四边形
∵A₁O⊥平面ABC，A₁O∥MC
∴MC⊥平面ABC，且MC=A₁O
∴∠MNC为直线MN与平面ABC所成的角
由（1）得MC=

3

，NC=1
在Rt△MNC中，tan∠MNC=

MC

NC

=

3

∴∠MNC=60°
即直线MN与平面ABC所成的角为60°

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握空间线面垂直，线线垂直，面面垂直之间的相互转化关系是解答的关键．