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(12分)已知圆的方程为,椭圆的方程,且离心率为,如果相交于两点,且线段恰为圆的直径.

(Ⅰ)求直线的方程和椭圆的方程;

(Ⅱ)如果椭圆的左、右焦点分别是,椭圆上是否存在点,使得,如果存在,请求点的坐标,如果不存在,请说明理由.

 

【答案】

(Ⅰ)

(Ⅱ)存在P点坐标为

【解析】(Ⅰ) 解法一:若直线斜率不存在,则直线的方程为,由椭圆的对称性可知,两点关于轴对称,A,B的中点为(4,0),又线段AB恰为圆的直径,则圆心为(4,0),这与已知圆心为(4,1)矛盾,因此直线斜率存在,…………1分

所以可设AB直线方程为,且设A(x1,y1)、B(x2,y2),      设椭圆方程,…………………2分

AB直线方程为代入到椭圆方程得,即(1),………………………………4分

,解得,故直线AB的方程为,…………6分

代入方程(1)得5x2-40x+100-4b2=0.

,得.                   …………………………………7分=,得,解得b2=9..

故所求椭圆方程为.     ………………………………………………8分

解法二:   设椭圆方程,…………1分

又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则,

,两式相减,得,……3分

即(x1+x2)(x1x2)+4(y1+y2)(y1y2)=0,.

,直线的方程为,由椭圆的对称性可知,两点关于轴对称,A,B的中点为(4,0),又线段AB恰为圆的直径,则圆心为(4,0),这与已知圆心为(4,1)矛盾,所以.

因此直线斜率存在,且 =-1,故直线AB的方程为,  ……5分

代入椭圆方程,得5x2-40x+100-4b2=0 .   ………………………………6分

 ,得.……………………7分

|AB|=

,解得b2=9.故所求椭圆方程为.  ……8分

(Ⅱ)因为的中点是原点,

所以,所以共线, …………………10分,

而直线AB的方程为y=-x+5,所以直线所在的直线方程为y=-x

.

所以P点坐标为.     …………………12分

 

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆的方程为x2+y2=4,过点M(2,4)作圆的两条切线,切点分别为A1、A2,直线A1A2恰好经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右顶点和上顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设AB是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)垂直于x轴的一条弦,AB所在直线的方程为x=m(|m|<a且m≠0),P是椭圆上异于A、B的任意一点,直线AP、BP分别交定直线l:x=
a2
m
于两点Q、R,求证
OQ
OR
>4

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已知圆的方程为x2+y2=4,过点M(2,4)作圆的两条切线,切点分别为A1、A2,直线A1A2恰好经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右顶点和上顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线x=-1与椭圆相交于A、B两点,P是椭圆上异于A、B的任意一点,直线AP、BP分别交定直线l:x=-4于两点Q、R,求证
OQ
OR
为定值.

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已知圆的方程为x2+y2=1,则经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程为x0•x+y0•y=1,类比上述性质,可以得到椭圆x2+2y2=8上经过点(2,-
2
)的切线方程为
x-
2
y-4=0
x-
2
y-4=0

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已知圆的方程为x2+y2=1,把圆上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到一椭圆,则以该椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程为(  )

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