(12分)已知圆的方程为,椭圆的方程,且离心率为,如果与相交于两点,且线段恰为圆的直径.
(Ⅰ)求直线的方程和椭圆的方程;
(Ⅱ)如果椭圆的左、右焦点分别是,椭圆上是否存在点,使得,如果存在,请求点的坐标,如果不存在,请说明理由.
(Ⅰ),;
(Ⅱ)存在P点坐标为,
【解析】(Ⅰ) 解法一:若直线斜率不存在,则直线的方程为,由椭圆的对称性可知,,两点关于轴对称,A,B的中点为(4,0),又线段AB恰为圆的直径,则圆心为(4,0),这与已知圆心为(4,1)矛盾,因此直线斜率存在,…………1分
所以可设AB直线方程为,且设A(x1,y1)、B(x2,y2), 设椭圆方程,…………………2分
将AB直线方程为代入到椭圆方程得,即(1),………………………………4分
,解得,故直线AB的方程为,…………6分
将代入方程(1)得5x2-40x+100-4b2=0. ,
,得. …………………………………7分=,得,解得b2=9..
故所求椭圆方程为. ………………………………………………8分
解法二: 设椭圆方程,…………1分
又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则,
又,两式相减,得,……3分
即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,.
若,直线的方程为,由椭圆的对称性可知,,两点关于轴对称,A,B的中点为(4,0),又线段AB恰为圆的直径,则圆心为(4,0),这与已知圆心为(4,1)矛盾,所以.
因此直线斜率存在,且 =-1,故直线AB的方程为, ……5分
代入椭圆方程,得5x2-40x+100-4b2=0 . ………………………………6分
,,得.……………………7分
|AB|=,
得,解得b2=9.故所求椭圆方程为. ……8分
(Ⅱ)因为的中点是原点,
所以,所以与共线, …………………10分,
而直线AB的方程为y=-x+5,所以直线所在的直线方程为y=-x.
,或.
所以P点坐标为,. …………………12分
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