Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d≠0，等比数列{b_n}满足a₁=b₁，a₂=b₂，a₅=b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意n∈N^*均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a₂=1+d，a₁，a₂，a₅成等比数列，得（1+d）²=1+4d，可求d，由b₂=a₂=3，得q=3；
（Ⅱ）易求c₁=3，由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，①得

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=an（n≥2），②，①-②得

cn

bn

=a_n+1-a_n=2，可得c_n，注意n的范围再分n=1，n≥2两种情况讨论可求得S_n；

解答： 解：（Ⅰ）由题意a₂=1+d，且a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴（1+d）²=1+4d，即d²=2d，
又d≠0，∴d=2，
∴a_n=1+（n-1）d=2n-1，．
又b₂=a₂=3，∴q=3，bn=3n-1．
（Ⅱ）∵

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，①
∴

c1

a1

=a₂，∴c₁=3，
又

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=an（n≥2），②
①-②得

cn

bn

=a_n+1-a_n=2，
∴c_n=2b_n=2•3^n-1（n≥2），
∴cn=

3，n=1 2•3n-1，n≥2

．
当n=1时，S_n=S₁=c₁=3，
当n≥2时，S_n=c₁+c₂+…+c_n=3+2（3+3²+…+3^n-1）=3+2•

3(1-3n-1)

1-3

=3n，
∴Sn=3n．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式及数列求和，考查分类讨论思想，考查学生的运算求解能力，属中档题．