Question

【题目】已知指数函数= 满足定义域为的函数=是奇函数.

(1)确定函数与的解析式;

(2)若对任意的不等式恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) g(x)=2x，f(x)= (2)k＜.

【解析】试题分析：(1)由指数函数y=g(x)=ax满足: 求出a的值,可得函数g(x)的解析式;f(x)= ,再由奇函数求出m的值即可;

(2)由(1)知f(x)= ,易知f(x)在(﹣,+)上为减函数,则原不等式等价于f(t2﹣2t)＜﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),等价于t2﹣2t＞k﹣2t2, 对一切t∈R恒成立,由判别式＜0可得结论.

试题解析：(1)∵指数函数y=g(x)=ax满足:

则a=2,

所以g(x)=2x,

所以f(x)= ,

因为它是奇函数.0是函数的定义域的值,

所以f(0)=0,即,

则n=1,

所以f(x)= ,

又由f(1)=﹣f(-1)知,

所以m=2,

f(x)= .

(2)由(1)知f(x)= ,

易知f(x)在(﹣,+)上为减函数.

又因f(x)是奇函数,从而不等式:

f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)＜0等价于f(t2﹣2t)＜﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),

因f(x)为减函数,由上式推得:t2﹣2t＞k﹣2t2,

即对一切t∈R有:3t2﹣2t﹣k＞0,

从而判别式=4+12k＜0,解得:k＜.

点晴：本题考查函数单调性函数奇偶性以及恒成立问题：本题首先利用函数f(x)的奇偶性将不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)＜0转化为f(t2﹣2t)＜f(k﹣2t2),再利用f(x)的单调性推得:t2﹣2t＞k﹣2t2,最后得到对一切t∈R有:3t2﹣2t﹣k＞0,从而判别式=4+12k＜0,解得:k＜.