【题目】已知指数函数=
满足
定义域为
的函数
=
是奇函数.
(1)确定函数与
的解析式;
(2)若对任意的不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) g(x)=2x,f(x)= (2)k<
.
【解析】试题分析:(1)由指数函数y=g(x)=ax满足: 求出a的值,可得函数g(x)的解析式;f(x)=
,再由奇函数求出m的值即可;
(2)由(1)知f(x)= ,易知f(x)在(﹣
,+
)上为减函数,则原不等式等价于f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),等价于t2﹣2t>k﹣2t2, 对一切t∈R恒成立,由判别式
<0可得结论.
试题解析:(1)∵指数函数y=g(x)=ax满足:
则a=2,
所以g(x)=2x,
所以f(x)= ,
因为它是奇函数.0是函数的定义域的值,
所以f(0)=0,即,
则n=1,
所以f(x)= ,
又由f(1)=﹣f(-1)知,
所以m=2,
f(x)= .
(2)由(1)知f(x)= ,
易知f(x)在(﹣,+
)上为减函数.
又因f(x)是奇函数,从而不等式:
f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0等价于f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),
因f(x)为减函数,由上式推得:t2﹣2t>k﹣2t2,
即对一切t∈R有:3t2﹣2t﹣k>0,
从而判别式=4+12k<0,解得:k<
.
点晴:本题考查函数单调性函数奇偶性以及恒成立问题:本题首先利用函数f(x)的奇偶性将不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0转化为f(t2﹣2t)<f(k﹣2t2),再利用f(x)的单调性推得:t2﹣2t>k﹣2t2,最后得到对一切t∈R有:3t2﹣2t﹣k>0,从而判别式=4+12k<0,解得:k<
.
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【题目】某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
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【题目】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据,并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图.根据该图,下列结论中正确的是( )
A.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数等于20%
B.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数小于20%
C.人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数等于20%
D.人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数小于20%
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【题目】如图,已知四棱锥中,底面
是边长为1的正方形,侧棱
底面
,且
,
是侧棱
上的动点.
(1)求四棱锥的表面积;
(2)是否在棱上存在一点
,使得
平面
;若存在,指出点
的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间
月)的关系
有以下叙述:
①这个指数函数的底数是2;
②第5个月时,浮萍的面积就会超过
③浮萍从蔓延到
需要经过1.5个月;
④浮萍每个月增加的面积都相等;
⑤若浮萍蔓延到所经过的时间分别为
则
.其中正确的是
A. ①② B. ①②③④ C. ②③④⑤ D. ①②⑤
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【题目】已知函数,当
时,恒有
.当
时,
.
(Ⅰ)求证: 是奇函数;
(Ⅱ)若,试求
在区间
上的最值;
(Ⅲ)是否存在,使
对于任意
恒成立?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】近来景德镇市棚户区改造进行的如火如荼,加上城市人居环境的不断改善,我市房地产住宅销售价格节节攀升,一部分刚需住户带来了不小的烦恼,下表为我市2017.1﹣2017.5这5月住宅价格与月份的关系.
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
住宅价格y | 4.8 | 5.4 | 6.2 | 6.6 | 7 |
(1)通过计算线性相关系数判断住宅价y千元/平米与月份x的线性相关程度(精确到0.01)
(2)用最小二乘法得到的线性回归直线去近似拟合x,y的关系. ①求y关于x的回归方程;②试估计按照这个趋势下去,将在不久的哪个年月份,房价将突破万元/平米的大关.
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【题目】如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行,已知圆环的半径为8,圆环的圆心
距离地面的高度为10
,蚂蚁每12分钟爬行一圈,若蚂蚁的起始位置在最低点
处.
(1)试确定在时刻(
)时蚂蚁距离地面的高度
;
(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过14?
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