Question

（考生注意：从下列三题中任选一题，多选的只按照第一题计分）
①对任意x∈R，|2-x|+|3+x|≥a²-4a恒成立，则a满足

[-1，5]

．
②在极坐标系中，点P（2，-

π

6

）到直线l：ρsin（θ-

π

6

）=1的距离是

3

+1

；
③如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB=OB=2，PC切圆O于点C，CD⊥AB于点D，则CD=

3

．

Answer 1

分析：①|2-x|+|3+x|表示数轴上的x对应点到-3、2对应点的距离之和，它的最小值等于5，故有5≥a²-4a，解此不等式，求得a的取值范围．
②点的极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．
③在圆中线段利用由切线定理求得∠PCO=90°，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合解三角形求得CD即可．

解答：解：①对任意x∈R，|2-x|+|3+x|表示数轴上的x对应点到-3、2对应点的距离之和，
它的最小值等于5，
要使|2-x|+|3+x|≥a²-4a恒成立，5≥a²-4a，
解得-1≤a≤5，故a的取值范围是[-1，5]，
故答案为[-1，5]．
②：在极坐标系中，点P（2，-

π

6

）化为直角坐标为（

3

，-1），
直线ρsin（θ-

π

6

）=1化为x-

3

y+2=0，
P（

3

，-1）到x-

3

y+2=0的距离，
即为P到直线ρsin（θ-

π

6

）=1的距离，所以距离为

| 3 + 3 +2|

1+3

=

3

+1．
故答案为：

3

+1．
③：∵PC是圆O的切线，
∴∠PCO=90°，
在直角三角形PCO中，PB=BO，
∴PO=2OC，
从而∠POC=60°，
在直角三角形OCD中，CO=2，
∴CD=

3

．
故答案为：

3

．

点评：①本题主要考查指数不等式对数不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．②本题关键是直角坐标和极坐标的互化，体现等价转化数学思想．③此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、与圆有关的比例线段，属于基础题．