Question

分别以双曲线G：

x2

16

-

y2

9

=1的焦点为顶点，以双曲线G的顶点为焦点作椭圆C．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P的坐标为（0，3），在y轴上是否存在定点M，过点M且斜率为k的动直线l 交椭圆于A、B两点，使以AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定双曲线G：

x2

16

-

y2

9

=1的焦点为（±5，0），顶点为（±4，0），从而可得椭圆的顶点与焦点，进而可求椭圆方程；
（Ⅱ）假设存在M（0，a），过点M且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，使以AB为直径的圆恒过点P，AB方程为y=kx+a，代入方程C：

x2

25

+

y2

9

=1，消去y，得（9+25k²）x²+50akx+25a²-225=0，利用韦达定理结合

PA

•

PB

=0，即可知M点的坐标存在．

解答：解：（Ⅰ）双曲线G：

x2

16

-

y2

9

=1的焦点为（±5，0），顶点为（±4，0），
所以所求椭圆方程为C：

x2

25

+

y2

9

=1…（5分）
（Ⅱ）假设存在M（0，a），过点M且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，使以AB为直径的圆恒过点P，
AB方程为y=kx+a，代入方程C：

x2

25

+

y2

9

=1，
消去y，得（9+25k²）x²+50akx+25a²-225=0，…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁+x₂=

-50ak

9+25k2

，x₁x₂=

25a2-225

9+25k2

…（9分）

PA

•

PB

=(x1，y1-3)•(x2，y2-3)=x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9
=x₁x₂+（kx₁+a）（kx₂+a）-3k（x₁+x₂）-6a+9=（k²+1）x₁x₂+k（a-3）（ x₁+x₂）+a²-6a+9
=（k²+1）

25a2-225

9+25k2

+k（a-3）

-50ak

9+25k2

+a²-6a+9
由以AB为直径的圆恒过点P，可得

PA

•

PB

=0，得17a²-27a-72=0，
∴（17a+24）（a-3）=0…（12分）
∴a=3，或a=-

24

17

∵点P的坐标为（0，3），过点M且斜率为k的动直线l 交椭圆于A、B两点
∴a=-

24

17

故M点的坐标存在，M的坐标为（0，-

24

17

）…（13分）

点评：本题考查双曲线、椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查恒成立问题的处理，解题要细心．