Question

已知函数f（x）=-x³+ax²-4，（a∈R）
（Ⅰ）若y=f（x）的图象在点p（1，f（1））处的切线的倾斜角为

π

4

，求a
（Ⅱ）设f（x）的导函数是f′（x），在（Ⅰ）的条件下，若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f′（n）的最小值．

Answer 1

分析：（1）函数在某点的导数值等于函数图象在该点的切线的斜率．
（2）利用导数在某个区间上的符号，确定函数单调性，进而确定函数最值．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=-3x²+2ax
由已知f′(x)=tan

π

4

=1即-3+2a=1
∴a=2（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x³+2x²-4
f′(x)=-3x2+4x=-3x(x-

4

3

)
当x∈[-1，1]时，如下表：

可见，n∈[-1，1]时，f′（x）最小值为f′（-1）=-7
m∈[-1，1]时，f（m）最小值为f（0）=-4
∴f（m）+f′（n）的最小值为-11

点评：本题考查导数意义，及用导数求函数极值的方法．