Question

函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-4x+3．
（1）求f（-3）的值，并指出f（x）的单调递增区间；
（2）若当x∈[a，2a+1]时，f（x）的最大值为3，求a的取值集合．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据f（x）为偶函数f（-x）=f（x），求出x＜0时，f（x）的解析式，画出f（x）的图象，很容易求出f（x）的单调递增区间；
（2）根据f（x）的图象可知，当x∈[a，2a+1]时，f（x）的最大值为3，需要进行讨论a与2a+1必须在-4到4之间，从而求出a的集合；
解答：解：（1）函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-4x+3．
若x＜0，可得-x＞0，f（-x）=x²+4x+3，
可得f（x）=f（-x）=x²+4x+3，
∴f（-3）=（-3）²+4×（-3）+3=0，
画出f（x）的图象如下：

由图象可知：f（x）的单调增区间为：（2，+∞），（-2，0）；
f（x）的单调减区间为：（-∞，-2），（0，2）；
（2）因为当x∈[a，2a+1]时，f（x）的最大值为3，
可以知道a与2a+1肯定在-4和4之间移动，
∴解得-≤a≤0，
若2a+1=4可得a=，也满足题意；
若a=-4，也满足题意；
∴a的取值集合：{a|-≤a≤0或a=-4或a=}；
点评：此题主要考查偶函数的性质及利用数形结合的方法求出函数的单调区间，第二问需要讨论端点值，是一道好题；