Question

已知函数f（x）=-x²+2x
（1）证明函数f（x）在（-∞，1]上是增函数；
（2）当x∈[-5，-2]时，f（x）是增函数还是减函数？

Answer 1

分析：（1）证明本题的大前提是增函数的定义，即增函数f（x）满足：
在给定区间内任取自变量的两个值x₁，x₂且x₁＜x₂，f（x₁）＜f（x₂），
小前提是函数f（x）=-x²+2x，x∈（-∞，1]，结论满足增函数定义．
（2）关键是看[-5，-2]与f（x）的增区间或减区间的关系．

解答：解：（1）方法一：任取x₁，x₂∈（-∞，1]，x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）（x₂+x₁-2），
∵x₁＜x₂≤1，∴x₂+x₁-2＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）=-x²+2x在（-∞，1]上是增函数；
方法二：
∵f^′（x）=-2x+2=-2（x-1），当x∈（-∞，1）时，x-1＜0，∴-2（x-1）＞0，
∴f^′（x）＞0在x∈（-∞，1）上恒成立．
故f（x）在（-∞，1]上是增函数．
2）∵f（x）在（-∞，1]上是增函数，
而[-5，-2]是区间（-∞，1]的子区间，∴f（x）在[-5，-2]上是增函数．

点评：本题主要考查函数单调性的判断问题．函数的单调性判断一般有两种方法，即定义法和求导判断导数正负．