【题目】已知椭圆的离心率为
,M是椭圆C的上顶点,
,F2是椭圆C的焦点,
的周长是6.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过动点P(1,t)作直线交椭圆C于A,B两点,且|PA|=|PB|,过P作直线l,使l与直线AB垂直,证明:直线l恒过定点,并求此定点的坐标.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题得到关于a,b,c的方程组,解方程组即得椭圆C的标准方程;(Ⅱ)当直线AB斜率存在,设AB的直线方程为,进一步求出直线的方程为
,
所以直线恒过定点
.当直线
斜率不存在时,直线
的方程为
,此时直线
为
轴,也过
.综上所述直线
恒过点
.
解:(Ⅰ)由于是椭圆
的上顶点,由题意得
,
又椭圆离心率为,即
,
解得,
,
又,
所以椭圆的标准方程
。
(Ⅱ)当直线AB斜率存在,设AB的直线方程为,
联立,得
,
由题意,,
设,
则,
因为,所以
是
的中点.
即,得
,
①
又,l的斜率为
,
直线的方程为
②
把①代入②可得:
所以直线恒过定点
.
当直线斜率不存在时,直线
的方程为
,
此时直线为
轴,也过
.
综上所述直线恒过点
.
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【题目】已知数列的前n项和为
,且满足
,数列
中,
,对任意正整数
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)是否存在实数,使得数列
是等比数列?若存在,请求出实数
及公比q的值,若不存在,请说明理由;
(3)求数列前n项和
.
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【题目】设椭圆(
)的左、右焦点为
,右顶点为
,上顶点为
.已知
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段
为直径的圆经过点
,经过原点
的直线
与该圆相切,求直线
的斜率.
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【题目】如图,已知椭圆
的离心率为
,且过点
.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)设点,
是椭圆
上异于顶点的任意两点,直线
,
的斜率分别为
,
且
.
①求的值;
②设点关于
轴的对称点为
,试求直线
的斜率.
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【题目】设数列的前n项和为
,对一切
,点
都在函数
的图像上.
(1)证明:当时,
;
(2)求数列的通项公式;
(3)设为数列
的前n项的积,若不等式
对一切
成立,求实数a的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:=1(a>b>0)的离心率为
,且过点
,点P在第四象限, A为左顶点, B为上顶点, PA交y轴于点C,PB交x轴于点D.
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 求 △PCD 面积的最大值.
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【题目】在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,腰长为2,D、E分别是边AB、BC的中点,将△BDE沿DE翻折,得到四棱锥B﹣ADEC,且F为棱BC中点,BA.
(1)求证:EF⊥平面BAC;
(2)在线段AD上是否存在一点Q,使得AF∥平面BEQ?若存在,求二面角Q﹣BE﹣A的余弦值,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知圆C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.
(1)若直线l:x+y=0与圆C交于A,B两点,求弦AB的长;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.
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【题目】高铁是一种快捷的交通工具,为我们的出行提供了极大的方便。某高铁换乘站设有编号为①,②,③,④,⑤的五个安全出口,若同时开放其中的两个安全出口,疏散名乘客所需的时间如下:
安全出口编号 | ①② | ②③ | ③④ | ④⑤ | ①⑤ |
疏散乘客时间(s) | 120 | 220 | 160 | 140 | 200 |
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是( )
A. ①B. ②C. ④D. ⑤
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