Question

（2012•香洲区模拟）一个多面体的三视图和直观图如下：
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求证：MN⊥AH；
（3）求多面体A-CDEF的体积．

Answer 1

分析：（1）证明线面平行，可借助于线面平行的判定定理，连接BE，可知M为BE的中点，同时考虑到N为BC中点，连接CE后得到MN为三角形BEC的中位线，说明MN平行于EC，然后运用线面平行的判定定理得证；
（2）证明MN⊥AH，可转化为证明EC⊥AH，要证明AH⊥EC，可证明AH⊥面DCFE，因为AH⊥DE，根据三棱柱为直三棱柱，说明AH⊥EF，从而得到AH⊥面DCFE；
（3）根据（1）和（2）的证明，能够说明AH为四棱锥A-DCFE的高，AH易求，直接代入棱锥体积公式求体积．

解答：解：由三视图知，该多面体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，侧面ABCD和侧面ABFE为边长为2的正方形．如图，
（1）在正方形ABFE中，
连接BE，则BE与AF交于中点M，
连接EC，在△BEC中，M，N分别是BE，BC的中点，
故中位线MN∥EC，
而MN?面CDEF，EC?面CDEF
∴MN∥面CDEF．
（2）∵△ADE为等腰直角三角形，且H为斜边DE的中点，
∴AH⊥DE  ①
又因为该多面体是直三棱柱，故侧棱EF⊥面ADE，而AH?面ADE，
故AH⊥EF  ②
综合①②，且DE∩EF=E，DE?面DCFE，EF?面DCFE，
∴AH⊥面DCFE，而EC?面DCFE
∴AH⊥EC，
由（1）可知，MN∥EC，
∴AH⊥MN
（3）由（2）可知AH⊥面DCFE，所以AH为四棱锥A-CDEF的高，且AH=

DE

2

=

2

，
∴VA-CDEF=

1

3

SCDEF•AH=

1

3

×2×2

2

×

2

=

8

3

．

点评：本题考查了由三视图还原实物图，考查了线面平行的判定及线面垂直的性质，考查了学生对平行投影的理解，训练了分析和解决问题的能力，此题属中档题．