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如图,三角形ABC中,AC=BC=
2
2
AB
,ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G、F分别是EC、BD的中点.
(Ⅰ)求证:GF底面ABC;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EBC;
(Ⅲ)求几何体ADEBC的体积V.
(I)证法一:取BE的中点H,连接HF、GH,(如图)

∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HGBC,HFDE,(2分)
又∵ADEB为正方形∴DEAB,从而HFAB
∴HF平面ABC,HG平面ABC,HF∩HG=H,
∴平面HGF平面ABC
∴GF平面ABC(5分)
证法二:取BC的中点M,AB的中点N连接GM、FN、MN
(如图)

∵G、F分别是EC和BD的中点
GMBE,且GM=
1
2
BE,
NFDA,且NF=
1
2
DA
(2分)
又∵ADEB为正方形∴BEAD,BE=AD
∴GMNF且GM=NF
∴MNFG为平行四边形
∴GFMN,又MN?平面ABC,
∴GF平面ABC(5分)
证法三:连接AE,
∵ADEB为正方形,
∴AE∩BD=F,且F是AE中点,(2分)
∴GFAC,
又AC?平面ABC,
∴GF平面ABC(5分)
(Ⅱ)∵ADEB为正方形,∴EB⊥AB,∴GF平面ABC(5分)
又∵平面ABED⊥平面ABC,∴BE⊥平面ABC(7分)
∴BE⊥AC
又∵CA2+CB2=AB2
∴AC⊥BC,
∵BC∩BE=B,
∴AC⊥平面BCE(9分)
(Ⅲ)连接CN,因为AC=BC,∴CN⊥AB,(10分)
又平面ABED⊥平面ABC,CN?平面ABC,∴CN⊥平面ABED.(11分)
∵三角形ABC是等腰直角三角形,∴CN=
1
2
AB=
1
2
,(12分)
∵C-ABED是四棱锥,
∴VC-ABED=
1
3
SABED•CN
=
1
3
×1×
1
2
=
1
6
(14分)
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(Ⅱ)求证:B1C1⊥平面ABB1A1

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