Question

已知S_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…a_n）}，a_i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈S_n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．
（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S₅，使得d（U，V）=2，写出m的值；
（Ⅱ）令w=

0，0，0，…0

n个0

，U，V∈S_n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；
（Ⅲ）令U=（a₁，a₂，a₃，…a_n），若V∈S_n，求所有d（U，V）之和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据d（U，V）可知m=C₅²；
（Ⅱ）根据a_i=0或1，i=1，2，••，n，分类讨论a_i=0，b_i=0时，|a_i|+|b_i|=0=|a_i-b_i|；当a_i=0，b_i=1时，|a_i|+|b_i|=1=|a_i-b_i|；当a_i=1，b_i=0时，|a_i|+|b_i|=1=|a_i-b_i|；
     当a_i=1，b_i=1时，|a_i|+|b_i|=2≥|a_i-b_i|=0，可证，|a_i|+|b_i|≥|a_i-b_i|，再相加即可证明结论；
（Ⅲ）易知S_n中共有2ⁿ个元素，分别记为v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）b_i=0的v_k共有2^n-1个，b_i=1的v_k共有2^n-1个然后求和即可．

解答：解：（Ⅰ）∵V∈S₅，d（U，V）=2，
∴C₅²=10，即m=10；
（Ⅱ）证明：令U=（a₁，a₂，a₃，…a_n），V=（b₁，b₂，b₃，…b_n）
∵a_i=0或1，b_i=0或1；
当a_i=0，b_i=0时，|a_i|+|b_i|=0=|a_i-b_i|
当a_i=0，b_i=1时，|a_i|+|b_i|=1=|a_i-b_i|
当a_i=1，b_i=0时，|a_i|+|b_i|=1=|a_i-b_i|
当a_i=1，b_i=1时，|a_i|+|b_i|=2≥|a_i-b_i|=0
故，|a_i|+|b_i|≥|a_i-b_i|
∴d（U，W）+d（V，W）=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+（b₁+b₂+b₃+…+b_n）
=（|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|）+（|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|）
≥|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|+…+|a_n-b_n|=d（U，V）；
（Ⅲ）解：易知S_n中共有2ⁿ个元素，分别记为v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）
∵b_i=0的v_k共有2^n-1个，b_i=1的v_k共有2^n-1个．
∴d（U，V）=2^n-1（|a₁-0|+|a₁-1|+|a₂-0|+a₂-1|+|a₃-0|+|a₃-1|+…+|a_n-0|+|a_n-1|=n2^n-1
∴d（U，V）=n2^n-1．

点评：此题是个难题．本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S_n的，其实S_n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义d（U，V）．