Question

如图，四边形OABC为矩形，点A、C的坐标分别为（a+1，0）（a＞1）、（0，1），点D在OA上，坐标为（a，0），椭圆C分别以OD、OC为长、短半轴，CD是椭圆在矩形内部的椭圆弧．已知直线l：y=-x+m与椭圆弧相切，且与AD相交于点E．
（Ⅰ）当m=2时，求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）圆M在矩形内部，且与l和线段EA都相切，若直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，求圆M面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆的方程为．由得（1+a²）x²-2a²mx+a²（m²-1）=0．由于直线l与椭圆相切，知△=（2a²m）²-4（1+a²）a²（m²-1）=0，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），于是OB的中点为．因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点，由此入手，能够求出圆M面积的最大值．
解答：解：（1）设椭圆的方程为．k•s5•u
由消去y得（1+a²）x²-2a²mx+a²（m²-1）=0．（3分）
由于直线l与椭圆相切，∴△=（2a²m）²-4（1+a²）a²（m²-1）=0，
化简得m²-a²=1，①
当m=2时，a²=3，
则椭圆C的标准方程为．（6分）
（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），于是OB的中点为．
因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点，
即，亦即2m-a=2．②
由①②解得，故直线l的方程为．（9分）
∴．
因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为（x-x）²+（y-r）²=r²（r＞0）．
因为圆M在矩形及其内部，所以④
圆M与l相切，且圆M在l上方，所以，即．
代入④得即．
所以圆M面积最大时，，这时，圆M面积的最大值为．（15分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．