Question

如图，在三棱柱△ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁（要求说明理由）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若AB=

2

，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（I）根据本题条件可得BC₁⊥AB，再解三角形的有关知识可得C₁B⊥BC，进而根据线面垂直的判定定理可得答案．
（II）根据题意设出点的坐标，再求出两条直线所在的向量，然后利用向量的数量积等于0可得答案．
（III）分别求出两个平面的法向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为AB⊥侧面BB₁C₁C，所以AB⊥BC₁，
在△BCC₁中有BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

所以由余弦定理可得：BC₁=

1+4-2×2×cos π 3

=

3

．
故有 BC²+C₁B²=C₁C²，
所以C₁B⊥BC．
又因为BC∩AB=B，且AB，BC?平面ABC，
所以C₁B⊥平面ABC．
（II）以BA为z轴，BC为x轴，BC′为y轴，建立空间直角坐标系，所以B（0，0，0），C（1，0，0），C′(0，

3

，0)，B′(-1，

3

，0)
设E（x，y，0），A（0，0，m），所以

CC′

=(-1，

3

，0)，

CE

=(x-1，y，0)，
设

CE

=λ

CC′

则E(1-λ，

3

λ，0)（0＜λ＜1）
故

AE

=(1-λ，

3

λ，-m)，

B′E

=(2-λ，

3

(1-λ)，0)
故

AE

•

B′E

=4λ2-6λ+2=0?λ=1（舍）或λ=

1

2

故E为CC′中点．
（III）由题设得，A(0，0，

2

)，A′(-1，

3

，

2

)，E(

1

2

，

3

2

，0)，
所以

AE

=(

1

2

，

3

2

，-

2

)，

B′E

=(

3

2

，-

3

2

，0)
设平面AEB′的一个法向量为

n1

=(x，y，z)，平面A′B′E的一个法向量为

n2

，
所以

AE • n1 = 1 2 x+ 3 2 y- 2 z=0 B′E • n1 = 3 2 x- 3 2 y=0

令x=1，故

n1

=(1，

3

，

2

)，同理

n2

=(1，

3

，0)
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1+3

6 ×2

=

6

3

故cosθ=

6

3

，sinθ=

3

3

故tanθ=

2

2

，即二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值为

2

2

．

点评：本题考查线面垂直、线线垂直、二面角的求法，是立体几何常考的问题，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征进而建立空间直角坐标系，利用空间向量的有关运算解决空间角、空间距离、线面的位置关系等问题．